Hasta ahora las señales eran deterministas: dado n, conocíamos x[n] exactamente. El ruido de un sensor, la interferencia de un canal o la voz humana no son así: son procesos estocásticos, familias de señales aleatorias que solo podemos describir con estadística. En lugar de un valor concreto, hablamos de su media, su varianza y de cómo se correlacionan sus muestras en el tiempo.
Los dos descriptores fundamentales de un proceso x[n] son la mediaμx=E[x[n]] y la función de autocorrelación, que mide cuánto se parece la señal a una versión de sí misma desplazada k muestras:
Rx[k]=E[x[n]x[n+k]]
Un proceso es estacionario en sentido amplio (WSS) cuando su media es constante y su autocorrelación depende solo del desfase k, no del instante n. Casi todo el tratamiento estadístico de señales asume WSS porque simplifica enormemente el análisis.
Del tiempo a la frecuencia: la densidad espectral de potencia
No podemos calcular la transformada de Fourier de una señal aleatoria concreta, pero sí la de su autocorrelación. El teorema de Wiener-Khinchin afirma que la densidad espectral de potencia (PSD) de un proceso WSS es la transformada de Fourier de tiempo discreto de su autocorrelación:
Sx(ejω)=∑k=−∞∞Rx[k]e−jωk
La PSD dice cómo se reparte la potencia del proceso entre las frecuencias. El caso extremo es el ruido blanco: muestras totalmente incorreladas, con autocorrelación Rx[k]=σ2δ[k] (solo se parece a sí mismo en k=0). Su PSD es plana, Sx(ejω)=σ2 para toda frecuencia: por eso se llama "blanco", igual que la luz blanca contiene todos los colores por igual.
Filtrar ruido: promediar reduce la varianza
La estrategia más básica para limpiar ruido es promediar. Si observamos N muestras independientes de un proceso de media μ y varianza σ2 y calculamos su promedio xˉ, la media del promedio sigue siendo μ, pero su varianza se reduce en un factor N:
Var(xˉ)=Nσ2
Veámoslo con números. Supongamos ruido de media cero y varianza σ2=4 (desviación típica σ=2). Si promediamos N=100 muestras independientes:
Var(xˉ)=1004=0.04⇒σxˉ=0.04=0.2
La desviación típica del ruido ha pasado de 2 a 0.2: una mejora de un factor 10 en amplitud, es decir un factor 100 en potencia (20 dB de SNR) simplemente promediando. En términos generales, promediar N muestras mejora la relación señal-ruido en potencia por un factor N. Esta es la idea que hay detrás del promediado coherente, los filtros de media móvil de la lección 14 y, en su versión óptima, del filtro de Wiener, que diseña la respuesta en frecuencia que minimiza el error cuadrático medio entre la señal estimada y la señal limpia, atenuando las bandas donde domina el ruido y dejando pasar aquellas donde domina la señal.
Consolida los conceptos estadísticos:
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En el laboratorio Procesador estocástico generarás ruido blanco, mezclarás una señal con distintos niveles de ruido y aplicarás promediado y filtrado para recuperar la señal limpia, observando cómo la varianza cae al aumentar N tal como predice la fórmula σ2/N.
Laboratorio: Procesador estocástico: ruido, autocorrelación y filtrado