La transformada de Fourier describe señales que existen para siempre y son estables. Pero muchos sistemas de ingeniería tienen respuestas que crecen o decaen en el tiempo, y para analizarlos necesitamos una herramienta más general: la transformada de Laplace. Sustituye la frecuencia imaginaria jω de Fourier por una frecuencia complejas=σ+jω, donde la parte real σ captura el crecimiento o decaimiento exponencial y la parte imaginaria ω la oscilación.
X(s)=∫0∞x(t)e−stdt,s=σ+jω
La gran ventaja es que convierte ecuaciones diferenciales en álgebra: derivar en el tiempo equivale a multiplicar por s. Un sistema lineal e invariante en el tiempo queda descrito por su función de transferenciaH(s)=Y(s)/X(s), un cociente de polinomios. Las raíces del numerador son los ceros y las del denominador son los polos — y los polos gobiernan por completo el comportamiento dinámico del sistema.
El plano s y la estabilidad
Cada polo es un punto en el plano complejo s. Su posición determina el modo natural que aporta a la respuesta: un polo real en s=−a contribuye un término e−at, y un par de polos complejos conjugados en s=−σ±jω contribuye una oscilación amortiguada e−σtcos(ωt). De aquí sale el criterio de estabilidad más importante del análisis de sistemas:
Un sistema LTI es asintóticamente estable si y solo si todos sus polos tienen parte real negativa — es decir, si todos están en el semiplano izquierdo del plano s.
Si algún polo cae en el semiplano derecho (σ>0), su modo e+σt crece sin límite y el sistema es inestable. Si hay polos justo sobre el eje imaginario (σ=0) y son simples, el sistema es marginalmente estable: ni decae ni explota, oscila indefinidamente.
Ejemplo numérico
Consideremos H(s)=s2+2s+55. Los polos son las raíces del denominador, que por la fórmula cuadrática valen
s=2−2±4−20=−1±2j.
Ambos tienen parte real σ=−1<0, así que el sistema es estable: su respuesta al impulso es una oscilación que decae como e−t. Comparando con la forma canónica de segundo orden s2+2ζωns+ωn2 identificamos ωn2=5, de donde la frecuencia natural es ωn=5≈2,24rad/s, y 2ζωn=2 da un factor de amortiguamientoζ=1/5≈0,45 (subamortiguado, tema de la próxima lección).
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En el laboratorio El Navegador de Estabilidad arrastrarás los polos por el plano s y verás en tiempo real cómo cambia la respuesta al impulso: al cruzar los polos del semiplano izquierdo al derecho observarás el instante exacto en que una respuesta que decae se convierte en una que diverge.
Laboratorio: El Navegador de Estabilidad: polos en el plano s