El resultado central de Joseph Fourier (1807) es que casi cualquier señal periódica x(t), de periodo T0 y frecuencia fundamental ω0=2π/T0, puede escribirse como una suma (en general infinita) de senos y cosenos armónicamente relacionados — múltiplos enteros de ω0:
x(t)=a0+∑n=1∞(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))
donde los coeficientes se calculan proyectando x(t) sobre cada armónico:
El término a0 es simplemente el valor promedio (componente de continua) de la señal. Gracias a la simetría de la lección 3: si x(t) es par, todos los bn=0 (solo sobreviven cosenos); si es impar, todos los an=0 (solo sobreviven senos) — porque el integrando que se anula es siempre el producto de una función par por una impar.
Ejemplo resuelto: la onda cuadrada impar
Sea x(t) una onda cuadrada impar de amplitud 1: x(t)=1 para 0<t<T0/2 y x(t)=−1 para −T0/2<t<0, repitiéndose con periodo T0. Por ser impar, a0=0 y todos los an=0. Los coeficientes seno son:
bn=T02∫−T0/2T0/2x(t)sin(nω0t)dt=nπ4 para n impar,bn=0 para n par
Este es un resultado clásico y verificable: la onda cuadrada solo contiene armónicos impares. Numéricamente, el primer armónico (fundamental) es b1=4/π≈1.2732, el tercero es b3=4/(3π)≈0.4244, y el quinto es b5=4/(5π)≈0.2546 — cada armónico sucesivo aporta menos energía, decayendo como 1/n.
Reconstrucción parcial y el fenómeno de Gibbs
Si sumamos solo los primeros armónicos (n=1,3,5,…,N) obtenemos una aproximación a la onda cuadrada que mejora a medida que N crece, en el sentido de que el error cuadrático medio tiende a cero. Sin embargo, cerca de cada discontinuidad la suma parcial siempre presenta un sobreimpulso (overshoot) de aproximadamente el 9% de la altura del salto, sin importar cuántos armónicos se agreguen — el llamado fenómeno de Gibbs. Es una consecuencia de que ninguna suma finita de funciones continuas (los senos y cosenos) puede reproducir exactamente una discontinuidad.
Energía y el teorema de Parseval
El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio de la señal con la de sus armónicos, sin necesidad de sumar la serie completa en el tiempo:
P=a02+21∑n=1∞(an2+bn2)
Para la onda cuadrada del ejemplo, la potencia total es P=1 (el cuadrado de la amplitud, ya que x(t)2=1 siempre). El primer armónico por sí solo aporta 21b12=21(4/π)2≈0.811 — es decir, ¡el fundamental por sí solo ya captura más del 81% de la potencia total de la señal!
Sintetiza tu propia onda combinando armónicos y observa el fenómeno de Gibbs en acción:
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El laboratorio de esta lección es un sintetizador de armónicos: ajusta la amplitud de cada seno y coseno con sliders y observa en tiempo real cómo la suma converge hacia distintas formas de onda — incluyendo el sobreimpulso de Gibbs cerca de un salto.