Si excitamos un sistema LTI estable con una sinusoide de frecuencia ω, en régimen permanente la salida es otra sinusoide de la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. La respuesta en frecuenciaH(jω) — la función de transferencia evaluada sobre el eje imaginario s=jω — captura exactamente ese cambio: su módulo ∣H(jω)∣ es la ganancia (factor de amplificación) y su argumento ∠H(jω) es el desfase que el sistema introduce a esa frecuencia.
Los diagramas de Bode
Un diagrama de Bode representa la respuesta en frecuencia en dos gráficas frente a ω en escala logarítmica. La de magnitud se dibuja en decibelios:
∣H(jω)∣dB=20log10∣H(jω)∣
y la de fase en grados. La escala logarítmica tiene una virtud enorme: convierte el producto de factores de H en una suma de sus curvas, de modo que un sistema complejo se dibuja sumando las contribuciones asintóticas de cada polo y cero. Cada polo simple aporta una pendiente de −20dB/deˊcada a partir de su frecuencia de corte; cada cero, +20dB/deˊcada.
Ejemplo: filtro paso-bajo de primer orden
El paso-bajo RC de primer orden tiene respuesta en frecuencia
H(jω)=1+jω/ωc1,
donde ωc=1/(RC) es la frecuencia de corte. Su comportamiento tiene tres tramos:
Para ω≪ωc: ∣H∣≈1, es decir 0dB — la banda de paso, plana.
En ω=ωc: ∣H∣=1/2≈0,707, que en decibelios es exactamente −3dB, y la fase vale −45°. Este es el punto de media potencia.
Para ω≫ωc: la magnitud cae a −20dB/deˊcada y la fase tiende a −90°.
Pongamos números: con R=1kΩ y C=0,1μF, la frecuencia de corte es ωc=1/(RC)=1/(103⋅10−7)=10000rad/s, equivalente a fc=ωc/(2π)≈1592Hz. Por debajo de ∼1,6kHz la señal pasa casi intacta; por encima se atenúa progresivamente a razón de 20dB por cada factor de diez en frecuencia.
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En el laboratorio Diagrama de Bode construirás la respuesta en frecuencia de un filtro colocando polos y ceros y verás las curvas de magnitud y fase actualizarse al instante, comprobando la regla de los ±20dB/deˊcada y localizando el punto de −3dB que define su ancho de banda.
Laboratorio: Diagrama de Bode: magnitud y fase de un filtro