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Por qué transformar el eje del tiempo

Muchas operaciones de procesamiento de señales — retardar una transmisión, invertir una grabación, acelerar o ralentizar un audio — son transformaciones de la variable independiente $t$ (o $n$ ), no de la amplitud. Las tres transformaciones elementales son el desplazamiento, la reflexión y el escalado, y casi cualquier transformación del eje temporal que aparece en la práctica es una combinación de las tres.

Las tres transformaciones elementales

Desplazamiento (shift): $y(t) = x(t - t_0)$ . Si $t_0 > 0$ , la gráfica de $x$ se desplaza hacia la derecha (retardo); si $t_0<0$ , hacia la izquierda (adelanto).
Reflexión (reversal): $y(t) = x(-t)$ . Es un espejo de la gráfica respecto al eje vertical $t=0$ : lo que ocurría en $t=\tau$ ahora ocurre en $t=-\tau$ .
Escalado (scaling): $y(t) = x(at)$ . Si $|a|>1$ la gráfica se comprime hacia el eje vertical (todo ocurre más rápido); si $0<|a|<1$ se expande (más lento). Un valor de $a$ negativo añade además una reflexión.

Combinándolas: $x(at-b)$

La forma general $y(t) = x(at-b)$ combina las tres. El error más común es aplicar el desplazamiento y el escalado en el orden equivocado. La manera segura de no equivocarse es factorizar $a$ dentro del argumento:

$y(t) = x(at - b) = x\Big(a\big(t - \tfrac{b}{a}\big)\Big)$

Leído así, la receta correcta es: primero desplaza $x(t)$ por $b/a$ (obtienes $x(t-b/a)$ ), y luego escala el resultado por $a$ (sustituyes $t \to at$ ). Si en cambio escalas primero y desplazas después usando literalmente $b$ unidades, el resultado queda desplazado incorrectamente salvo que $|a|=1$ .

Ejemplo resuelto

Sea $x(t) = t$ para $0 \le t \le 2$ (y $x(t)=0$ fuera de ese intervalo) — una rampa que sube de $0$ a $2$ . Queremos graficar $y(t) = x(2t-4)$ .

Factorizamos: $y(t) = x\big(2(t-2)\big)$ , así que la receta es desplazar 2 unidades a la derecha, luego comprimir por un factor 2. Para encontrar el soporte de $y$ , resolvemos la desigualdad del argumento de $x$ :

$0 \le 2t - 4 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad 4 \le 2t \le 6 \quad\Longrightarrow\quad 2 \le t \le 3$

Dentro de ese soporte, $y(t) = x(2t-4) = 2t-4$ (porque $x(u)=u$ en su tramo no nulo). El pulso original, de duración $2$ , se comprimió a duración $1$ y se desplazó de forma que ahora vive en $[2,3]$ . Podemos verificar un punto concreto: en $t=2.5$ ,

$y(2.5) = x(2 \cdot 2.5 - 4) = x(1) = 1$

ya que $1$ está dentro del tramo $[0,2]$ de $x$ y ahí $x(u)=u$ , así que $x(1)=1$ . El resultado coincide exactamente con evaluar la fórmula $y(t)=2t-4$ en $t=2.5$ : $2(2.5)-4=1$ .

El caso discreto

En tiempo discreto las mismas ideas aplican a $y[n] = x[an-b]$ , con una sutileza: si $|a| \neq 1$ el escalado (diezmado o interpolación) puede no ser invertible sin pérdida, porque $an$ debe caer en valores enteros para que $x$ esté definida allí. Por ejemplo, $y[n] = x[-n+2]$ se lee como $x\big(-(n-2)\big)$ : primero se refleja $x[n]$ para obtener $x[-n]$ , luego se desplaza $2$ unidades a la derecha.

Comprueba si entendiste el orden correcto de operaciones:

Para graficar

Con este orden claro, el laboratorio de la lección te deja arrastrar los parámetros $a$ y $b$ sobre una señal de referencia y observar en vivo cómo se transforma su gráfica.