ACADEMIA — Aprende tecnología con práctica real

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Más allá de la función de transferencia

La función de transferencia describe la relación entre una entrada y una salida. Muchos sistemas reales —un avión, una red eléctrica, un robot— tienen varias entradas y varias salidas (MIMO, Multiple-Input Multiple-Output) y estados internos acoplados. La representación en espacio de estados captura toda esa dinámica con un sistema de ecuaciones de primer orden en forma matricial.

Para un sistema discreto MIMO, el modelo estándar es:

$\mathbf{x}[n+1] = A\,\mathbf{x}[n] + B\,\mathbf{u}[n]$ $\mathbf{y}[n] = C\,\mathbf{x}[n] + D\,\mathbf{u}[n]$

Aquí $\mathbf{x}[n]$ es el vector de estado (la memoria interna del sistema), $\mathbf{u}[n]$ el vector de entradas y $\mathbf{y}[n]$ el de salidas. Las cuatro matrices tienen nombres fijos: $A$ es la matriz de estado (cómo evoluciona la dinámica interna), $B$ la de entrada, $C$ la de salida y $D$ la de transmisión directa. En tiempo continuo la primera ecuación se sustituye por la derivada, $\dot{\mathbf{x}}(t) = A\,\mathbf{x}(t) + B\,\mathbf{u}(t)$ .

Estabilidad por autovalores

La gran ventaja del espacio de estados es que la estabilidad se lee directamente en los autovalores de la matriz $A$ (las raíces de $\det(A - \lambda I) = 0$ ), que son precisamente los polos del sistema:

Sistema discreto: estable si todos los autovalores cumplen $|\lambda| < 1$ (dentro de la circunferencia unidad).
Sistema continuo: estable si todos los autovalores cumplen $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$ (semiplano izquierdo).

Es la misma regla de las lecciones anteriores, pero ahora vale para sistemas de cualquier tamaño sin necesidad de calcular una función de transferencia.

Un ejemplo resuelto

Consideremos un sistema discreto de segundo orden con matriz de estado:

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -0.2 & 0.9 \end{bmatrix}$

Sus autovalores salen del polinomio característico $\det(A - \lambda I) = 0$ :

$\det\begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -0.2 & 0.9 - \lambda \end{bmatrix} = (-\lambda)(0.9 - \lambda) - (1)(-0.2) = \lambda^2 - 0.9\lambda + 0.2 = 0$

Resolviendo la cuadrática:

$\lambda = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.81 - 0.8}}{2} = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.01}}{2} = \frac{0.9 \pm 0.1}{2}$

de donde $\lambda_1 = 0.5$ y $\lambda_2 = 0.4$ . Podemos comprobar el resultado con dos invariantes: la traza de $A$ es $0 + 0.9 = 0.9$ , que coincide con $\lambda_1 + \lambda_2 = 0.5 + 0.4$ ; y el determinante es $(0)(0.9) - (1)(-0.2) = 0.2$ , que coincide con $\lambda_1\lambda_2 = 0.5 \times 0.4$ . Como ambos autovalores tienen módulo menor que 1, el radio espectral (el mayor $|\lambda|$ ) es $0.5 < 1$ y el sistema es estable: cualquier estado inicial decae hacia cero.

Otra ventaja del enfoque es que un mismo sistema admite infinitas representaciones de estado equivalentes (relacionadas por un cambio de base $\tilde{\mathbf{x}} = T\mathbf{x}$ ), y podemos elegir la más conveniente para diseñar controladores u observadores. Consolida las ideas:

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En el laboratorio Espacio de estados editarás las matrices $A$ , $B$ , $C$ y $D$ , verás los autovalores dibujados sobre la circunferencia unidad y simularás la respuesta del sistema. Mueve un autovalor fuera del círculo y observa cómo la respuesta pasa de converger a diverger.