Tres funciones "singulares" — el impulso, el escalón y la rampa — son los bloques de construcción con los que se describen discontinuidades, encendidos e inicios de señales, y son además la base de la respuesta al impulso que estudiaremos en la lección 5.
El escalón unitario
El escalón unitariou(t) vale 0 para t<0 y 1 para t≥0. Sirve para "encender" cualquier señal en un instante dado: x(t)u(t−t0) es la señal x(t) truncada a valer cero antes de t0. En tiempo discreto, u[n] se define análogamente con u[n]=1 para n≥0 y u[n]=0 para n<0.
La rampa unitaria
La rampa unitariar(t)=tu(t) vale 0 para t<0 y crece linealmente (r(t)=t) para t≥0. Es la integral del escalón:
r(t)=∫−∞tu(τ)dτ
y recíprocamente, el escalón es la derivada de la rampa: u(t)=dtdr(t) (en el sentido de que la pendiente de la rampa pasa abruptamente de 0 a 1 en t=0).
El impulso unitario (delta de Dirac)
El impulso unitarioδ(t) no es una función en el sentido clásico, sino una distribución: se define como el límite de un pulso de área unitaria cuya duración tiende a cero (y por tanto su altura tiende a infinito), de modo que δ(t)=0 para t=0 pero ∫−∞∞δ(t)dt=1. Su propiedad más importante es la propiedad de muestreo (sifting):
∫−∞∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)
Es decir: multiplicar por δ(t−t0) e integrar "extrae" el valor de x exactamente en t0. El impulso es, además, la derivada del escalón: δ(t)=dtdu(t) (la pendiente infinita del salto de u en t=0), lo que cierra la cadena δ→u→r por integración sucesiva.
Ejemplo resuelto: propiedad de muestreo
Calculemos ∫−∞∞(3t2−5)δ(t+1)dt. Escribimos δ(t+1)=δ(t−(−1)), así que t0=−1, y por la propiedad de muestreo el resultado es simplemente evaluar x(t)=3t2−5 en t0=−1:
3(−1)2−5=3−5=−2
No hay que resolver ninguna integral propiamente: la delta colapsa el problema a una simple evaluación puntual.
El impulso discreto
En tiempo discreto, δ[n] es una función genuina (no requiere teoría de distribuciones): vale 1 en n=0 y 0 en cualquier otro entero. Su propiedad de muestreo es la versión discreta de la misma idea: ∑n=−∞∞x[n]δ[n−n0]=x[n0]. Cualquier señal discreta puede escribirse como una suma (posiblemente infinita) de impulsos desplazados y escalados: x[n]=∑k=−∞∞x[k]δ[n−k] — la identidad que hace posible, en la lección 5, deducir la fórmula de la convolución a partir de la respuesta al impulso.
Repasa estos tres átomos con el siguiente cuestionario:
¿Cuál es el valor de
El laboratorio te permite componer impulsos, escalones y rampas desplazados y escalados, y observar en vivo cómo se combinan para construir señales más complejas por partes.