Una señal x(t) es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical: x(−t)=x(t) para todo t. Es impar si es antisimétrica respecto al origen: x(−t)=−x(t) para todo t. Ejemplos clásicos: cos(ω0t) es par; sin(ω0t) es impar; una constante es par; t3 es impar. La mayoría de las señales no son ni pares ni impares — pero toda señal, sin excepción, se puede descomponer de forma única en una parte par y una parte impar.
Descomposición par-impar
Dada cualquier x(t), definimos:
xe(t)=2x(t)+x(−t)xo(t)=2x(t)−x(−t)
Es fácil comprobar que xe(t) es siempre par y xo(t) siempre impar (sustituye t→−t en cada fórmula y verifica), y que su suma reconstruye la señal original: xe(t)+xo(t)=x(t).
Ejemplo resuelto: el exponencial causal
Sea x(t)=e−tu(t) (cero para t<0, y e−t para t≥0 — la lección 4 formaliza el escalón u(t)). Calculemos su parte par e impar en t=1 y en t=−1.
En t=1: x(1)=e−1≈0.3679, y x(−1)=e1u(−1)=0 (porque u(−1)=0). Entonces:
Nótese que xe(−1)=xe(1) (par, como debía ser) y xo(−1)=−xo(1) (impar, como debía ser). De hecho, para este caso concreto puede demostrarse que xe(t)=21e−∣t∣ y xo(t)=21sgn(t)e−∣t∣ — sustituyendo t=±1 en estas fórmulas cerradas se obtiene exactamente 0.18395 y ±0.18395, confirmando el cálculo punto a punto.
Propiedades útiles de la simetría
Estas reglas de "álgebra de paridades" son las mismas que las de los números pares e impares bajo multiplicación, y ahorran mucho cálculo:
par × par = par, impar × impar = par, par × impar = impar.
La integral de una función impar sobre un intervalo simétrico[−a,a] es siempre cero — las dos mitades se cancelan exactamente.
La integral de una función par sobre [−a,a] es el doble de la integral sobre [0,a].
Estas propiedades son la razón profunda por la que, en la lección 6, la serie de Fourier de una señal par solo tiene términos coseno, y la de una señal impar solo tiene términos seno: el producto de la señal por un seno (impar) o un coseno (par) determina si la integral que define cada coeficiente se anula o no.
Un ejemplo discreto
En tiempo discreto la misma descomposición aplica con n en vez de t. Sea x[n]={2,3,−1} para n=−1,0,1 (y 0 fuera). Entonces xe[0]=x[0]=3 (el origen siempre es su propio par), xe[1]=(x[1]+x[−1])/2=(−1+2)/2=0.5=xe[−1], y xo[1]=(x[1]−x[−1])/2=(−1−2)/2=−1.5=−xo[−1].
Repasa la descomposición con estas tarjetas:
1 de 4
El laboratorio de esta lección te deja dibujar una señal arbitraria y ver, en tiempo real, cómo se refleja para producir sus partes par e impar — un espejo matemático que puedes manipular con el mouse.