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Del tiempo continuo al tiempo discreto

La transformada de Laplace fue nuestra herramienta para analizar sistemas LTI en tiempo continuo: convertía ecuaciones diferenciales en álgebra sobre la variable compleja $s$ . Cuando el sistema es discreto —trabaja con muestras $x[n]$ en lugar de una señal continua $x(t)$ — el papel de Laplace lo asume la transformada Z, que convierte ecuaciones en diferencias en álgebra sobre una nueva variable compleja $z$ .

La transformada Z bilateral de una secuencia $x[n]$ se define como:

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}$

donde $z = re^{j\omega}$ es un número complejo. Como se trata de una serie infinita, solo converge para ciertos valores de $z$ : ese conjunto se llama región de convergencia (ROC) y es tan importante como la propia expresión algebraica, porque dos secuencias distintas pueden compartir la misma $X(z)$ y diferenciarse solo en su ROC.

El puente con Laplace

La relación entre ambas transformadas no es casual. Si muestreamos una señal continua cada $T$ segundos, la variable de Laplace $s = \sigma + j\omega$ y la variable Z se conectan por:

$z = e^{sT} = e^{\sigma T}\,e^{j\omega T}$

De aquí sale un diccionario geométrico entre el plano $s$ y el plano $z$ . El módulo es $|z| = e^{\sigma T}$ y la fase es $\angle z = \omega T$ . Por tanto:

El eje imaginario del plano $s$ ( $\sigma = 0$ ) se mapea a la circunferencia unidad $|z| = 1$ : es donde vive la respuesta en frecuencia.
El semiplano izquierdo ( $\sigma < 0$ , sistemas estables en continuo) se mapea al interior de la circunferencia unidad ( $|z| < 1$ ).
El semiplano derecho ( $\sigma > 0$ ) se mapea al exterior ( $|z| > 1$ ).

La consecuencia práctica es la regla de estabilidad discreta: un sistema LTI causal es estable si y solo si todos los polos de su función de transferencia $H(z)$ quedan dentro de la circunferencia unidad. Es el análogo exacto de "todos los polos en el semiplano izquierdo" que usábamos con Laplace.

Un ejemplo resuelto

Considera la secuencia exponencial causal $x[n] = a^n\,u[n]$ , donde $u[n]$ es el escalón unitario (vale 1 para $n \ge 0$ y 0 antes). Su transformada Z es una serie geométrica:

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(a z^{-1}\right)^n = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z - a}, \quad |z| > |a|$

La serie geométrica converge solo cuando $|a z^{-1}| < 1$ , es decir $|z| > |a|$ : esa es la ROC, el exterior de un círculo de radio $|a|$ . Hay un único polo en $z = a$ y un cero en $z = 0$ .

Tomemos $a = 0.5$ . El polo cae en $z = 0.5$ , dentro de la circunferencia unidad, así que el sistema es estable. Podemos leer directamente su respuesta en frecuencia evaluando $X(z)$ sobre la circunferencia unidad, $z = e^{j\omega}$ . En continua ( $\omega = 0$ , es decir $z = 1$ ):

$X(1) = \frac{1}{1 - 0.5} = 2$

Y en la frecuencia máxima discreta ( $\omega = \pi$ , es decir $z = -1$ ):

$X(-1) = \frac{1}{1 + 0.5} = \frac{1}{1.5} \approx 0.667$

El sistema deja pasar más las frecuencias bajas (ganancia 2) que las altas (ganancia 0.667): es un filtro paso bajo, coherente con el hecho de que una exponencial decreciente promedia y suaviza la entrada. Si en cambio tomáramos $a = 1.2$ , el polo en $z = 1.2$ quedaría fuera de la circunferencia unidad y el sistema sería inestable.

De la ecuación en diferencias a $H(z)$

La utilidad final de la transformada Z es la misma que la de Laplace: convierte una ecuación en diferencias en una función de transferencia racional. Usando la propiedad de desplazamiento, $\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z)$ , una ecuación como $y[n] = x[n] + 0.5\,y[n-1]$ se transforma en $Y(z) = X(z) + 0.5 z^{-1} Y(z)$ , de donde:

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.5 z^{-1}} = \frac{z}{z - 0.5}$

Los polos y ceros de esa fracción lo dicen todo sobre el comportamiento del sistema, exactamente como en el mundo continuo. Repasa las ideas clave con estas tarjetas:

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En el laboratorio De Laplace al plano z podrás arrastrar polos y ceros sobre el plano complejo y ver en tiempo real cómo cambia la respuesta en frecuencia y la estabilidad del sistema: cruza un polo hacia fuera de la circunferencia unidad y observa cómo la respuesta al impulso pasa de decaer a crecer sin límite.