Un sistema transforma una señal de entrada x(t) (o x[n]) en una señal de salida y(t) (o y[n]). Dos propiedades hacen que un sistema sea especialmente tratable matemáticamente:
Linealidad: si x1→y1 y x2→y2, entonces ax1+bx2→ay1+by2 para cualesquiera constantes a,b (superposición).
Invariancia en el tiempo: si x(t)→y(t), entonces x(t−t0)→y(t−t0) — retardar la entrada simplemente retarda la salida, sin cambiar su forma.
Un sistema que cumple ambas se llama LTI (linear time-invariant). Su propiedad más poderosa: queda completamente caracterizado por su respuesta a un único impulso, h(t)= salida cuando la entrada es δ(t) — la respuesta al impulso.
Por qué basta con h(t)
Recordando de la lección 4 que cualquier entrada discreta se puede escribir como suma de impulsos desplazados, x[n]=∑kx[k]δ[n−k], y aplicando linealidad e invariancia término a término, la salida es necesariamente:
y[n]=∑k=−∞∞x[k]h[n−k]y(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ
Esta operación se llama convolución, denotada y=x∗h. La receta gráfica para calcularla — reflejar h, desplazarla, multiplicar muestra a muestra contra x y sumar — es exactamente lo que automatiza el laboratorio de esta lección.
Ejemplo resuelto: convolución discreta
Sea x[n]={1,2} para n=0,1 (cero fuera) y h[n]={2,1} para n=0,1. El resultado y=x∗h tiene longitud 2+2−1=3 muestras, para n=0,1,2:
Así, y[n]={2,5,2}. Puedes verificar el resultado multiplicando los polinomios generadores X(z)=1+2z−1 y H(z)=2+z−1: X(z)H(z)=2+z−1+4z−1+2z−2=2+5z−1+2z−2, cuyos coeficientes son exactamente {2,5,2} — la convolución de secuencias equivale a la multiplicación de sus polinomios generadores.
Propiedades de la convolución
La convolución hereda propiedades algebraicas útiles: es conmutativa (x∗h=h∗x), asociativa ((x∗h1)∗h2=x∗(h1∗h2), lo que justifica reemplazar dos sistemas LTI en cascada por uno solo con respuesta al impulso h1∗h2) y distributiva respecto a la suma (x∗(h1+h2)=x∗h1+x∗h2, equivalente a dos sistemas en paralelo cuyas salidas se suman).
Causalidad y estabilidad de un sistema LTI
Un sistema LTI es causal si h(t)=0 para t<0 (la salida no puede depender de entradas futuras) y es BIBO estable (entrada acotada produce salida acotada) si y solo si h(t) es absolutamente integrable: ∫−∞∞∣h(t)∣dt<∞ (o, en discreto, ∑n∣h[n]∣<∞). Por ejemplo, h[n]=(0.5)nu[n] es causal y estable (la serie geométrica de razón 0.5 converge a 1/(1−0.5)=2), mientras que h[n]=(1.5)nu[n] es causal pero inestable (la serie diverge).
Visualicemos el flujo de un sistema LTI:
El laboratorio de esta lección convierte el álgebra anterior en algo visual y manipulable: podrás construir x[n] y h[n] con controles deslizantes y ver, paso a paso, cómo se refleja, desplaza y multiplica h contra x para producir cada muestra de y[n].