Sistemas de segundo orden: control de motor DC

Contenido del curso

El sistema de segundo orden canónico

Un enorme número de sistemas físicos — un motor con inercia, un circuito RLC, una suspensión — se comportan como sistemas de segundo orden. Su función de transferencia estándar es:

H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

Dos parámetros lo describen por completo. La frecuencia natural

\omega_n

marca la rapidez intrínseca del sistema (a qué velocidad oscilaría sin pérdidas). El factor de amortiguamiento

\zeta

(zeta, adimensional) dice cuánto se disipan esas oscilaciones. Los polos son

s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}

, y su naturaleza cambia con

\zeta

\zeta = 0

— sin amortiguar: polos sobre el eje imaginario, oscilación perpetua.

0 < \zeta < 1

— subamortiguado: polos complejos conjugados, respuesta oscilante que decae.

\zeta = 1

— críticamente amortiguado: polos reales dobles, la respuesta más rápida sin sobreimpulso.

\zeta > 1

— sobreamortiguado: dos polos reales distintos, respuesta lenta sin oscilar.

Métricas de la respuesta transitoria

Para un sistema subamortiguado ante un escalón, tres números resumen su calidad. La frecuencia amortiguada de oscilación es

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

. El sobreimpulso máximo (cuánto se pasa la respuesta del valor final, en fracción) es

M_p = e^{-\zeta\pi / \sqrt{1 - \zeta^2}}

y el tiempo de establecimiento al 2 % del valor final se aproxima por

t_s \approx 4/(\zeta\omega_n)

. Hay un compromiso claro: más amortiguamiento reduce el sobreimpulso pero ralentiza la respuesta.

Ejemplo: sintonizar un motor DC

Un motor de corriente continua con realimentación de velocidad se modela como un sistema de segundo orden. Supongamos que el diseño da

\omega_n = 10\ \text{rad/s}

\zeta = 0{,}5

. Entonces:

Frecuencia amortiguada:

\omega_d = 10\sqrt{1 - 0{,}25} = 10 \cdot 0{,}866 = 8{,}66\ \text{rad/s}

Sobreimpulso:

M_p = e^{-0{,}5\pi/0{,}866} = e^{-1{,}814} = 0{,}163

, es decir un 16,3 %.

Tiempo de pico:

t_p = \pi/\omega_d = \pi/8{,}66 = 0{,}363\ \text{s}

Tiempo de establecimiento (2 %):

t_s \approx 4/(0{,}5 \cdot 10) = 0{,}8\ \text{s}

El motor alcanza su pico en

0{,}363\ \text{s}

tras rebasar la referencia un 16 %, y se asienta en

0{,}8\ \text{s}

. Si el 16 % de sobreimpulso fuera excesivo, subiríamos

\zeta

(más amortiguamiento) a costa de una respuesta más lenta.

El lazo de control realimentado que sintoniza el motor se organiza así:

Bloque interactivo no reconocido: «flashcards (vacío)».

En el laboratorio Control de motor DC moverás las perillas de

\omega_n

\zeta

y verás la respuesta al escalón del motor cambiar en vivo entre subamortiguada, crítica y sobreamortiguada, leyendo el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento resultantes. Es el puente entre las fórmulas de esta lección y la sintonización real de un controlador.

Sistemas de segundo orden: control de motor DC

El sistema de segundo orden canónico

Métricas de la respuesta transitoria

Ejemplo: sintonizar un motor DC

Laboratorio: Control de motor DC: respuesta de segundo orden