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¿Qué es una señal?

Una señal es una función que transporta información al describir cómo varía una magnitud física en el tiempo (o en el espacio): un voltaje, una presión acústica, una temperatura. Cuando esa función está definida para todo instante de tiempo real la llamamos señal de tiempo continuo, $x(t)$ , con $t \in \mathbb{R}$ . Cuando solo está definida en instantes discretos — típicamente muestras enteras — la llamamos señal de tiempo discreto, $x[n]$ , con $n \in \mathbb{Z}$ . La notación con paréntesis $(\cdot)$ para tiempo continuo y corchetes $[\cdot]$ para tiempo discreto es una convención universal en el análisis de sistemas y la seguiremos en todo el curso.

Clasificación básica

Antes de estudiar sistemas conviene tener un vocabulario común para describir señales:

Periódica vs. aperiódica: $x(t)$ es periódica con periodo $T$ si $x(t+T) = x(t)$ para todo $t$ ; si no existe tal $T$ , es aperiódica.
Determinista vs. aleatoria: una señal determinista queda completamente especificada por una expresión matemática (p. ej. $\cos(\omega_0 t)$ ); una aleatoria solo se describe estadísticamente (p. ej. ruido térmico).
Causal vs. no causal: una señal es causal si $x(t) = 0$ para $t < 0$ — no existe "antes" de que el sistema empiece a operar.
Par e impar: adelantamos que $x(t)$ es par si $x(-t)=x(t)$ e impar si $x(-t)=-x(t)$ ; la lección 3 dedica un análisis completo a esta simetría.

Energía y potencia

Dos magnitudes cuantifican el "tamaño" de una señal a lo largo de todo el tiempo: la energía y la potencia promedio.

$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt \qquad\qquad E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$

$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \, dt \qquad\qquad P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$

Con estas dos definiciones, toda señal cae en una de tres categorías: señal de energía ( $0 < E < \infty$ , y en consecuencia $P = 0$ ), señal de potencia ( $0 < P < \infty$ , y en consecuencia $E = \infty$ ), o ninguna de las dos (por ejemplo $x(t) = t$ , cuya energía y potencia son ambas infinitas). Intuitivamente: un pulso aislado que se extingue es una señal de energía; una señal periódica que se repite para siempre — y por tanto nunca deja de "gastar" energía — es una señal de potencia.

Ejemplo resuelto: energía de un pulso rectangular

Sea $x(t) = 3$ para $0 \le t \le 2$ y $x(t) = 0$ en cualquier otro instante (un pulso de amplitud $A=3$ y duración $T=2$ ). Su energía es:

$E = \int_{0}^{2} 3^2 \, dt = 9 \cdot 2 = 18$

En general, un pulso rectangular de amplitud $A$ y duración $T$ tiene energía $E = A^2 T$ — aquí se comprueba con $A=3$ , $T=2$ : $3^2 \cdot 2 = 18$ , tal como acabamos de calcular por integración directa. Como $0 < E < \infty$ , este pulso es una señal de energía (y su potencia promedio es exactamente $0$ , porque la duración finita se diluye al promediar sobre un intervalo que crece sin límite).

Ejemplo resuelto: potencia de una señal periódica

Sea ahora $x(t) = 4\cos(\omega_0 t)$ , periódica y definida para todo $t$ . Usando la identidad $\cos^2(\theta) = \tfrac{1}{2}(1+\cos(2\theta))$ , el promedio de $\cos^2(\omega_0 t)$ en un periodo es $\tfrac{1}{2}$ , así que:

$P = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} 16\cos^2(\omega_0 t)\, dt = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$

En general, para $x(t) = A\cos(\omega_0 t)$ la potencia promedio es siempre $P = A^2/2$ ; aquí, con $A=4$ : $4^2/2 = 8$ , que coincide con el cálculo anterior. Como la señal nunca se extingue, su energía total es infinita ( $E=\infty$ ): es una señal de potencia, no de energía.

Un caso discreto

Sea $x[n] = (1/2)^n$ para $n \ge 0$ y $x[n]=0$ para $n<0$ (causal). Su energía es una serie geométrica de razón $1/4$ :

$E = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}$

Como $E = 4/3$ es finita y no nula, esta señal exponencial decreciente también es una señal de energía.

Repasa el vocabulario de esta lección:

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Para terminar de interiorizar estos conceptos, el laboratorio de esta lección te deja dibujar y clasificar señales continuas y discretas a mano alzada, y calcula en vivo su energía y su potencia para que compares tu intuición con el resultado exacto.