Toda señal del mundo físico — voz, temperatura, vibración — es continua: tiene un valor definido en cada instante. Para procesarla con un ordenador hay que muestrearla: tomar su valor a intervalos regulares de periodo Ts, produciendo una secuencia x[n]=x(nTs). La velocidad a la que tomamos muestras es la frecuencia de muestreofs=1/Ts. La pregunta central es: ¿con qué frecuencia debemos muestrear para no perder información?
El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
El teorema de Nyquist-Shannon da la respuesta exacta. Si una señal está limitada en banda — no contiene componentes por encima de una frecuencia máxima fmax — entonces puede reconstruirse perfectamente a partir de sus muestras siempre que:
fs>2fmax
La frecuencia crítica 2fmax se llama tasa de Nyquist, y la mitad de la frecuencia de muestreo, fs/2, es la frecuencia de Nyquist o de plegado. La intuición es geométrica: para capturar sin ambigüedad una sinusoide necesitamos al menos dos muestras por periodo; con menos, la misma secuencia de puntos podría provenir de varias sinusoides distintas.
Un ejemplo cotidiano es el audio de un CD. El oído humano percibe hasta unos 20kHz, así que basta con fs>40kHz. El estándar fija fs=44,1kHz, que deja un pequeño margen (44,1>40) para el filtro anti-aliasing.
Aliasing: el fantasma del submuestreo
Si violamos el criterio y muestreamos por debajo de la tasa de Nyquist, aparece el aliasing: las componentes por encima de fs/2 se "pliegan" hacia abajo y se hacen pasar por frecuencias más bajas, contaminando irreversiblemente la señal. La frecuencia aparente del alias se obtiene plegando la frecuencia real alrededor de fs/2; para un tono de frecuencia f el alias de primer orden es ∣f−fs∣.
Ejemplo numérico: muestreamos un tono de f=7kHz con fs=10kHz. La frecuencia de Nyquist es fs/2=5kHz, y como 7>5 hay aliasing. El alias aparece en ∣7−10∣=3kHz: el sistema digital "verá" un tono de 3kHz que nunca existió. Por eso todo conversor analógico-digital serio antepone un filtro anti-aliasing — un paso-bajo analógico que elimina las componentes por encima de fs/2antes de muestrear, porque una vez plegadas es imposible separarlas.
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En el laboratorio El Guardián de Nyquist ajustarás la frecuencia de muestreo sobre una señal continua y verás en vivo cómo, al bajar de la tasa de Nyquist, la señal reconstruida se deforma y un tono aparece donde no debería. Es la forma más directa de interiorizar por qué fs>2fmax no es una recomendación, sino una frontera física.
Laboratorio: El Guardián de Nyquist: muestreo frente a aliasing