ACADEMIA — Aprende tecnología con práctica real

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Medir el espectro de una señal real

La serie y la transformada de Fourier suponen señales infinitas y de fórmula conocida. En la práctica solo tenemos un bloque finito de $N$ muestras capturadas por un conversor. La herramienta que analiza ese bloque es la transformada discreta de Fourier (DFT):

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j\,2\pi kn/N}, \qquad k = 0, 1, \dots, N-1$

La DFT toma $N$ muestras en el tiempo y devuelve $N$ coeficientes $X[k]$ , cada uno asociado a una frecuencia concreta. El algoritmo rápido que la calcula en $O(N\log N)$ operaciones —en lugar de $O(N^2)$ — es la célebre FFT (Fast Fourier Transform), sin la cual el análisis espectral en tiempo real sería inviable.

Resolución en frecuencia

Cada índice $k$ corresponde a una frecuencia física que depende de la frecuencia de muestreo $f_s$ y del número de muestras $N$ :

$f_k = k\,\frac{f_s}{N}$

La separación entre dos bins consecutivos, la resolución espectral, es:

$\Delta f = \frac{f_s}{N}$

Por ejemplo, si muestreamos a $f_s = 8000$ Hz y tomamos $N = 8$ muestras, la resolución es $\Delta f = 8000/8 = 1000$ Hz: el bin $k=0$ mide la componente continua (0 Hz), el $k=1$ mide 1000 Hz, el $k=2$ mide 2000 Hz, y así hasta el $k=4$ que corresponde a 4000 Hz, la frecuencia de Nyquist ( $f_s/2$ ). Los bins por encima de $N/2$ representan frecuencias negativas por la simetría del espectro de una señal real. La conclusión de ingeniería es directa: para afinar la resolución hay que capturar más muestras (mayor $N$ ) o bajar $f_s$ .

El problema de la fuga espectral y el ventaneo

La DFT asume implícitamente que el bloque de $N$ muestras se repite periódicamente. Si la señal no completa un número entero de ciclos dentro de la ventana, aparece una discontinuidad en los extremos al "pegar" las copias, y la energía de una frecuencia pura se derrama hacia los bins vecinos: es la fuga espectral (spectral leakage), que puede enmascarar tonos débiles cercanos a otros fuertes.

La solución es multiplicar la señal por una ventana $w[n]$ que se atenúa suavemente hacia cero en los bordes antes de calcular la DFT:

$x_w[n] = x[n]\,w[n]$

La ventana rectangular (no hacer nada) tiene el lóbulo principal más estrecho pero lóbulos laterales altos, así que fuga mucho. La ventana de Hann, $w[n] = 0.5\left(1 - \cos\frac{2\pi n}{N-1}\right)$ , y la de Hamming ensanchan un poco el lóbulo principal a cambio de reducir drásticamente los lóbulos laterales, con lo que separan mejor tonos cercanos. Elegir ventana es siempre un compromiso entre resolución (lóbulo principal estrecho) y fuga (lóbulos laterales bajos).

Un cálculo a mano

Tomemos la secuencia constante $x[n] = 1$ para $n = 0,1,2,3$ (con $N=4$ ). Su DFT es:

$X[0] = \sum_{n=0}^{3} 1 = 4, \qquad X[k] = \sum_{n=0}^{3} e^{-j\,2\pi kn/4} = 0 \;\text{ para } k=1,2,3$

El resultado tiene toda su energía en $X[0]$ (la componente de 0 Hz) y cero en el resto, justo lo que esperamos de una señal constante: no contiene ninguna oscilación. Este par —una constante en el tiempo produce un único impulso en frecuencia— es la versión discreta de la intuición de Fourier. Refuerza los conceptos:

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En el laboratorio Analizador espectral inyectarás tonos y ruido, elegirás $N$ y el tipo de ventana, y verás el espectro resultante. Prueba a colocar dos tonos muy próximos: con ventana rectangular se confunden por la fuga; con ventana de Hann se separan con nitidez.