Un filtro digital es un sistema LTI discreto que modifica el contenido espectral de una señal muestreada. Todos los filtros digitales caen en una de dos familias según la forma de su ecuación en diferencias: FIR (respuesta al impulso finita) e IIR (respuesta al impulso infinita). La diferencia estructural es si el filtro realimenta o no sus propias salidas.
Filtros FIR
Un filtro FIR (Finite Impulse Response) calcula cada salida como una combinación ponderada únicamente de muestras de la entrada, sin realimentación:
y[n]=∑k=0Mbkx[n−k]
Su respuesta al impulso es exactamente la lista de coeficientes {b0,b1,…,bM}, que es finita: tras M+1 muestras se agota. Un FIR siempre es estable (no tiene polos fuera del origen) y puede diseñarse con fase lineal exacta, lo que preserva la forma de onda sin distorsión de retardo entre frecuencias. Su precio es que, para una selectividad dada, necesita muchos más coeficientes que un IIR equivalente.
El FIR más simple es la media móvil de 3 puntos:
y[n]=31(x[n]+x[n−1]+x[n−2])
Si la entrada es un impulso x[n]=δ[n], la salida es {31,31,31,0,0,…}: tres muestras y se acaba. Es un paso bajo suave que promedia el ruido de alta frecuencia.
Filtros IIR
Un filtro IIR (Infinite Impulse Response) sí realimenta salidas anteriores:
y[n]=∑k=0Mbkx[n−k]−∑k=1Naky[n−k]
La realimentación introduce polos en H(z), y por eso su respuesta al impulso puede durar infinitamente. Con muy pocos coeficientes un IIR logra transiciones muy abruptas —son el equivalente digital de los filtros analógicos clásicos de Butterworth o Chebyshev—, pero pueden volverse inestables si algún polo sale de la circunferencia unidad, y en general no tienen fase lineal.
Un IIR de primer orden ilustrativo es:
y[n]=x[n]+0.5y[n−1]
Su función de transferencia es H(z)=1−0.5z−11, con un polo en z=0.5 (estable). Alimentado con un impulso x[n]=δ[n], la salida es una exponencial que nunca se anula del todo:
y[0]=1,y[1]=0.5,y[2]=0.25,y[3]=0.125,…,y[n]=0.5n
De ahí el nombre "respuesta al impulso infinita": la cola decae pero, en teoría, nunca termina. Compara con el FIR anterior, que se apagaba en tres muestras.
Cómo elegir
Se prefiere un FIR cuando la fase lineal es crítica (audio, comunicaciones, tratamiento de imagen) y se puede pagar el coste computacional. Se prefiere un IIR cuando importa la eficiencia —pocos coeficientes, poca memoria— y se tolera la distorsión de fase, como en muchos filtros de control o de bajo consumo. Repasa las diferencias:
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En el laboratorio Arquitecto de filtros colocarás coeficientes y polos para diseñar tu propio FIR o IIR, y verás simultáneamente su respuesta en frecuencia, su respuesta al impulso y el mapa de polos y ceros. Comprueba tú mismo cómo un IIR de segundo orden iguala la selectividad de un FIR de veinte coeficientes.
Laboratorio: Arquitecto de filtros: diseña un FIR o un IIR