La serie de Fourier describe señales periódicas como una suma de armónicos discretos. Pero la mayoría de las señales reales — un golpe, un transitorio, una palabra hablada — son aperiódicas: existen durante un intervalo finito y nunca se repiten. La transformada de Fourier extiende la idea a estas señales haciendo que el periodo tienda a infinito: el espectro deja de ser un conjunto discreto de líneas y se convierte en una función continua de la frecuencia.
Para una señal x(t) de tiempo continuo, la transformada de Fourier y su inversa son:
X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtx(t)=∫−∞∞X(f)ej2πftdf
El resultado X(f) es en general complejo: su módulo ∣X(f)∣ es el espectro de amplitud (cuánta energía hay a cada frecuencia) y su argumento ∠X(f) es el espectro de fase (el desfase de cada componente). La transformada es una lente que reescribe la misma información del dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia, sin perder nada: por eso la inversa reconstruye x(t) exactamente.
Un par fundamental: pulso y sinc
El ejemplo canónico es el pulso rectangular. Sea x(t) un pulso de amplitud A y duración τ, centrado en el origen (vale A para ∣t∣<τ/2 y 0 fuera). Su transformada es una función sinc:
X(f)=Aτsinc(fτ)=Aτπfτsin(πfτ)
La consecuencia práctica es la relación inversa entre duración y ancho de banda: el primer cruce por cero del espectro ocurre en f=1/τ. Un pulso de τ=1ms tiene su primer nulo espectral en f=1/(10−3s)=1000Hz; si lo acortamos a τ=0,1ms, el nulo se corre a 10000Hz y el espectro se ensancha diez veces. Cuanto más breve es un evento en el tiempo, más ancho es su espectro — el principio que subyace al compromiso tiempo-frecuencia de toda la ingeniería de señales.
Filtrar es multiplicar en frecuencia
La propiedad más útil de la transformada es el teorema de convolución: convolucionar dos señales en el tiempo equivale a multiplicar sus espectros en frecuencia.
y(t)=(x∗h)(t)⟺Y(f)=X(f)H(f)
Aquí h(t) es la respuesta al impulso del sistema y H(f) es su respuesta en frecuencia. Filtrar una señal es, literalmente, moldear su espectro multiplicándolo por H(f). Un filtro paso-bajo ideal tiene H(f)=1 para ∣f∣<fc y H(f)=0 por encima: deja pasar las frecuencias bajas intactas y elimina las altas. En el dominio del tiempo ese filtro ideal es una sinc infinita, lo que lo hace físicamente irrealizable — de ahí que los filtros reales aproximen ese ideal con transiciones suaves.
Finalmente, el teorema de Parseval garantiza que la energía se conserva entre ambos dominios, ∫∣x(t)∣2dt=∫∣X(f)∣2df: no importa si medimos la energía contando muestras en el tiempo o integrando el espectro, el total es el mismo.
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En el laboratorio de esta lección, el Escalpelo de Fourier, verás el espectro de una señal compuesta y podrás "cortar" bandas de frecuencia en tiempo real: al silenciar armónicos concretos observarás cómo cambia la forma de onda reconstruida, comprobando de primera mano que filtrar es esculpir el espectro.
Laboratorio: El Escalpelo de Fourier: filtrado espectral en tiempo real